〔はじめに〕
このガイドを参考にして何らかの問題(文鎮、セキュリティ上のトラブルなど)が発生した場合、私は責任は負いかねます。ご了承ください。
他のサイト様でも言われている通り、システム干渉は興味本位でやっていいものではないです。素人がちょっかいを出さないように復旧方法まで塞がれているなんてのはザラです。きちんとした知識を身に着けた上で始めてください。

〔文鎮化のリスク〕
上記の通り、このガイドに従ったからといって文鎮化しない保証はどこにもありません。それどころか、"ちょっと失敗しただけ"でもリカバリーすら起動不能な”高級文鎮”が出来上がります。右も左もわからない方はここに書いてあること以外で余計なことをしたら文鎮化すると思っていただいて結構です。
壊れてもいいという覚悟がある方のみお進みください。

〔大まかな手順〕
バージョンの確認
ダウングレード(5.1.2.1以上のみ)※PC必須
KingRootによるRoot取得
自動OTA実行の停止

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①のバージョン確認は、[設定]->[端末オプション]->[システムアップデート]から確認できます。
②の手順ですが、バージョンによっては不要ですので後ほど詳しく説明します{この記事で特に詳しく取り扱う項目}
③はKingRoot公式サイトから最新版を落としてきて実行です。
④の手順の詳細は後述します{この記事で特に詳しく取り扱う項目}
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〔ダウングレード〕
上の項で今お使いのKindleのバージョンが確認できたかと思います。表示されていたバージョンが
[5.0.1]もしくは[5.1.1]もしくは[5.1.2]
だった場合、この手順は不要ですので次項〔Root化〕にお進みください。
それ以外の方は、ダウングレードが必要です。

※ダウングレードの作業は必ずしも安全ではありません!文鎮化の可能性があります!※
※絶対に指定した以外のバージョンのアップデートファイルを適応しないでください!もれなく高級文鎮です!※
※Fire OS5.1.4現在成功を確認していますが、それ以上のバージョン(5.1.5〜等)をお使いの方はこの手順を踏まないでください!文鎮化の可能性が非常に高いです!※

まずPCが必須です。LinuxやMacでもできるかもしれませんが、私は環境が用意できないのでWindowsについてのみ取り扱います。手順がやや複雑なので、(1)~(3)に分けて書きます。

(1)Android SDK及びJDKの導入
adbコマンド使えるよって方は流してください。
AndroidをPCでコマンドを使って操作するために必要な環境です。これが無いと話が進みません。
このサイトが参考になるかと思います。丸投げで申し訳ない。
http://andmem.blogspot.jp/2014/04/installjdkandroidsdkadb.html

(2)ダウングレードに使用するOTAファイルのダウンロード

https://kindle-fire-updates.s3.amazonaws.com/udxKmcRs5UAtXN1m35M38xMHtn/update-kindle-32.5.4.2_user_542168620.bin
このリンクからOTAファイル(FireOS 5.1.2)をダウンロードします。ファイルは8,10ともに共通です。
(チェックサムがしたい方はこれ-> MD5 Sum: 7e82caf7ac0679630fcb245cb79acb15)

(3) ダウングレードの処理
Windowsの方でコマンドプロンプトを起動します。コマンドプロンプトの画面に
adb sideload
をコピペします。最後のスペースも入れてください。そしたら、さっきダウンロードしたOTAファイルをコマンドプロンプトの窓にD&Dします。準備はこれで完了ですが、まだ実行してはいけません。

次に、Kindleをリカバリーモードで起動します。電源を落としてから電源ボタンと、電源ボタンから遠い方のボリュームキーを長押しするといつものAmazonのロゴが出た後にリカバリーが立ち上がります。
リカバリーが起動したら黄色文字で選択肢が出てくると思います。ボリュームキーを使って"apply update from adb"を選んで電源ボタンを押して決定します。

Kindleの方の準備が終わったら、コマンドプロンプトの方の処理を進めます。エンターキーを押して実行してください。
環境次第ではかなり長い時間がかかると思いますが、コマンドプロンプトの方で進捗が%表示で出ます。
無事ダウングレードが終わりましたら再起動してください。

※私の環境では、リカバリーから再起動しただけでは起動しませんでした。一度電源を落としたら起動しました。

無事に適応できていた場合、システムの最適化が始まります。これまた時間がかかるのでじっと我慢です。
起動したら、一応設定からダウングレードできているか確認してください。変わっていたらダウングレード成功です。

〔Root化〕
KindleのRoot化にはKingRootが有効です。
https://kingroot.net/
ここから最新版をダウンロードしてインストールしてください。私はAndroid版でやりました。
インストールが終わりましたら、KingRootを開いてRoot化しますが、おそらく30%前後で何度も失敗すると思います。が、構わず何度も繰り返してください。私は11回目で成功しました。
Root化成功の表示が出ましたら、システムの最適化みたいな表示が出ると思います。恐らくセキュリティホールの修復などでしょうが、アプリが中国産ですので気になる方はやめておくのもいいかもしれません。がやっておくほうが無難でしょう。
Root化が済んだら、勝手にアップデートされてRoot権限が喪失してしまわないように大急ぎで次項の自動OS更新を止める作業をしましょう。

〔OS実行更新の停止〕
これはPCが無くてもできますが、PCがある人はわざわざアプリをインストールしなくて良いのでそちらのほうが便利でしょう。

[PCの場合]
PCの場合はUSBデバックを許可させておく必要があります。
Kindleの[設定]->[端末オプション]を開き、一番下のシリアル番号の項目を連打するとティップメッセージと共に開発者オプションがその下に出ます。開発者オプションを開き、[ADBを有効にする]の項目を有効化してください。
準備ができましたらKindleをPCに繋ぎ、以下のコマンドを一行ずつ実行してください。途中Root権限付与の確認画面が出ますが、許可してください。

adb shell
su
pm disable com.amazon.otaverifier
pm disable com.amazon.device.software.ota

[Androidのみの場合]
まずは端末エミュレータをインストールしてください。
https://play.google.com/store/apps/details?id=jackpal.androidterm
インストールが終わったらアプリを開き、以下のコマンドを一行ずつ実行してください。途中Root権限付与の確認画面が出ますが、許可してください。

su
pm disable com.amazon.otaverifier
pm disable com.amazon.device.software.ota

処理が終わったら再度有効化しない限りKindleが勝手にアップデートされてしまう心配はありません。


以上でRoot化に関係する作業は一通り終了です。お疲れ様でした。もっとカスタムしたい!って方は下の記事を参考にするといいかもしれません。

Kindle Fire HD 8及び10でPlay Storeを使う
[Xposed]Kindle FIre HD 8及び10にXposedフレームワークをインストールする[TWRP or CWM不要]
Kindle Fire HD 8及び10のランチャーを変更する(要ROOT)
その他の記事は記事準備中です。完成をお待ちください...

それではよいRootedライフを!